中國數(shù)學的起源與發(fā)展(2)

中國古代數(shù)學的發(fā)展

魏、晉時期出現(xiàn)的玄學，不為漢儒經學束縛，思想比較活躍它詰辯求勝，又能運用邏輯思維，分析義理，這些都有利于數(shù)學從理論上加以提高。吳國趙爽注《周髀算經》，漢末魏初徐岳撰《九章算術》注，魏末晉初劉徽撰《九章算術》注、《九章重差圖》都是出現(xiàn)在這個時期。趙爽與劉徽的工作為中國古代數(shù)學體系奠定了理論基礎。

趙爽是中國古代對數(shù)學定理和公式進行證明與推導的最早的數(shù)學家之一。他在《周髀算經》書中補充的“勾股圓方圖及注”和“日高圖及注”是十分重要的數(shù)學文獻。在“勾股圓方圖及注”中他提出用弦圖證明勾股定理和解勾股形的五個公式在“日高圖及注”中，他用圖形面積證明漢代普遍應用的重差公式，趙爽的工作是帶有開創(chuàng)性的，在中國古代數(shù)學發(fā)展中占有重要地位。

劉徽約與趙爽同時，他繼承和發(fā)展了戰(zhàn)國時期名家和墨家的思想，主張對一些數(shù)學名詞特別是重要的數(shù)學概念給以嚴格的定義，認為對數(shù)學知識必須進行“析理”，才能使數(shù)學著作簡明嚴密，利于讀者。他的《九章算術》注不僅是對《九章算術》的方法、公式和定理進行一般的解釋和推導，而且在論述的過程中有很大的發(fā)展。劉徽創(chuàng)造割圓術，利用極限的思想證明圓的面積公式，并首次用理論的方法算得圓周率為 157/50和 3927/1250。

劉徽用無窮分割的方法證明了直角方錐與直角四面體的體積比恒為2：1，解決了一般立體體積的關鍵問題。在證明方錐、圓柱、圓錐、圓臺的體積時，劉徽為徹底解決球的體積提出了正確途徑。

東晉以后，中國長期處于戰(zhàn)爭和南北分裂的狀態(tài)。祖沖之父子的工作就是經濟文化南移以后，南方數(shù)學發(fā)展的具有代表性的工作，他們在劉徽注《九章算術》的基礎上，把傳統(tǒng)數(shù)學大大向前推進了一步。他們的數(shù)學工作主要有：計算出圓周率在3.1415926～3.1415927之間提出祖(日恒)原理提出二次與三次方程的解法等。

據(jù)推測，祖沖之在劉徽割圓術的基礎上，算出圓內接正6144邊形和正12288邊形的面積，從而得到了這個結果。他又用新的方法得到圓周率兩個分數(shù)值，即約率22/7和密率355/113。祖沖之這一工作，使中國在圓周率計算方面，比西方領先約一千年之久

祖沖之之子祖(日恒)總結了劉徽的有關工作，提出“冪勢既同則積不容異”，即等高的兩立體，若其任意高處的水平截面積相等，則這兩立體體積相等，這就是著名的祖(日恒)公理。祖(日恒)應用這個公理，解決了劉徽尚未解決的球體積公式。

隋煬帝好大喜功，大興土木，客觀上促進了數(shù)學的發(fā)展。唐初王孝通的《緝古算經》，主要討論土木工程中計算土方、工程分工、驗收以及倉庫和地窖的計算問題，反映了這個時期數(shù)學的情況。王孝通在不用數(shù)學符號的情況下，立出數(shù)字三次方程，不僅解決了當時社會的需要，也為后來天元術的建立打下基礎。此外，對傳統(tǒng)的勾股形解法，王孝通也是用數(shù)字三次方程解決的。

唐初封建統(tǒng)治者繼承隋制，656年在國子監(jiān)設立算學館，設有算學博士和助教，學生30人。由太史令李淳風等編纂注釋《算經十書》，作為算學館學生用的課本，明算科考試亦以這些算書為準。李淳風等編纂的《算經十書》，對保存數(shù)學經典著作、為數(shù)學研究提供文獻資料方面是很有意義的。他們給《周髀算經》、《九章算術》以及《海島算經》所作的注解，對讀者是有幫助的。隋唐時期，由于歷法的需要，天算學家創(chuàng)立了二次函數(shù)的內插法，豐富了中國古代數(shù)學的內容。算籌是中國古代的主要計算工具，它具有簡單、形象、具體等優(yōu)點，但也存在布籌占用面積大，運籌速度加快時容易擺弄不正而造成錯誤等缺點，因此很早就開始進行改革。其中太乙算、兩儀算、三才算和珠算都是用珠的槽算盤，在技術上是重要的改革。尤其是“珠算”，它繼承了籌算五升十進與位值制的優(yōu)點，又克服了籌算縱橫記數(shù)與置籌不便的缺點，優(yōu)越性十分明顯。但由于當時乘除算法仍然不能在一個橫列中進行。算珠還沒有穿檔，攜帶不方便，因此仍沒有普遍應用。

唐中期以后，商業(yè)繁榮，數(shù)字計算增多，迫切要求改革計算方法，從《新唐書》等文獻留下來的算書書目，可以看出這次算法改革主要是簡化乘、除算法，唐代的算法改革使乘除法可以在一個橫列中進行運算，它既適用于籌算，也適用于珠算。

中國古代數(shù)學的繁榮

960年，北宋王朝的建立結束了五代十國割據(jù)的局面。北宋的農業(yè)、手工業(yè)、商業(yè)空前繁榮，科學技術突飛猛進，火藥、指南針、印刷術三大發(fā)明就是在這種經濟高漲的情況下得到廣泛應用。1084年秘書省第一次印刷出版了《算經十書》，1213年鮑搟之又進行翻刻。這些都為數(shù)學發(fā)展創(chuàng)造了良好的條件。

從11～14世紀約300年期間，出現(xiàn)了一批著名的數(shù)學家和數(shù)學著作，如賈憲的《黃帝九章算法細草》，劉益的《議古根源》，秦九韶的《數(shù)書九章》，李冶的《測圓海鏡》和《益古演段》，楊輝的《詳解九章算法》《日用算法》和《楊輝算法》，朱世杰的《算學啟蒙》《四元玉鑒》等，很多領域都達到古代數(shù)學的高峰，其中一些成就也是當時世界數(shù)學的高峰。從開平方、開立方到四次以上的開方，在認識上是一個飛躍，實現(xiàn)這個飛躍的就是賈憲。楊輝在《九章算法纂類》中載有賈憲“增乘開平方法”、“增乘開立方法”;在《詳解九章算法》中載有賈憲的“開方作法本源”圖、“增乘方法求廉草”和用增乘開方法開四次方的例子。根據(jù)這些記錄可以確定賈憲已發(fā)現(xiàn)二項系數(shù)表，創(chuàng)造了增乘開方法。這兩項成就對整個宋元數(shù)學發(fā)生重大的影響，其中賈憲三角比西方的帕斯卡三角形早提出600多年。

把增乘開方法推廣到數(shù)字高次方程(包括系數(shù)為負的情形)解法的是劉益?！稐钶x算法》中“田畝比類乘除捷法”卷，介紹了原書中22個二次方程和 1個四次方程，后者是用增乘開方法解三次以上的高次方程的最早例子。

秦九韶是高次方程解法的集大成者，他在《數(shù)書九章》中收集了21個用增乘開方法解高次方程(最高次數(shù)為10)的問題。為了適應增乘開方法的計算程序，奏九韶把常數(shù)項規(guī)定為負數(shù)，把高次方程解法分成各種類型。當方程的根為非整數(shù)時，秦九韶采取繼續(xù)求根的小數(shù)，或用減根變換方程各次冪的系數(shù)之和為分母，常數(shù)為分子來表示根的非整數(shù)部分，這是《九章算術》和劉徽注處理無理數(shù)方法的發(fā)展。在求根的第二位數(shù)時，秦九韶還提出以一次項系數(shù)除常數(shù)項為根的第二位數(shù)的試除法，這比西方最早的霍納方法早500多年。

元代天文學家王恂、郭守敬等在《授時歷》中解決了三次函數(shù)的內插值問題。秦九韶在“綴術推星”題、朱世杰在《四元玉鑒》“如象招數(shù)”題都提到內插法(他們稱為招差術)，朱世杰得到一個四次函數(shù)的內插公式。用天元(相當于x)作為未知數(shù)符號，立出高次方程，古代稱為天元術，這是中國數(shù)學史上首次引入符號，并用符號運算來解決建立高次方程的問題?，F(xiàn)存最早的天元術著作是李冶的《測圓海鏡》。

從天元術推廣到二元、三元和四元的高次聯(lián)立方程組，是宋元數(shù)學家的又一項杰出的創(chuàng)造。留傳至今，并對這一杰出創(chuàng)造進行系統(tǒng)論述的是朱世杰的《四元玉鑒》。

朱世杰的四元高次聯(lián)立方程組表示法是在天元術的基礎上發(fā)展起來的，他把常數(shù)放在中央，四元的各次冪放在上、下、左、右四個方向上，其他各項放在四個象限中。朱世杰的最大貢獻是提出四元消元法，其方法是先擇一元為未知數(shù)，其他元組成的多項式作為這未知數(shù)的系數(shù)，列成若干個一元高次方程式，然后應用互乘相消法逐步消去這一未知數(shù)。重復這一步驟便可消去其他未知數(shù)，最后用增乘開方法求解。這是線性方法組解法的重大發(fā)展，比西方同類方法早400多年。

勾股形解法在宋元時期有新的發(fā)展，朱世杰在《算學啟蒙》卷下提出已知勾弦和、股弦和求解勾股形的方法，補充了《九章算術》的不足。李冶在《測圓海鏡》對勾股容圓問題進行了詳細的研究，得到九個容圓公式，大大豐富了中國古代幾何學的內容。

已知黃道與赤道的夾角和太陽從冬至點向春分點運行的黃經余弧，求赤經余弧和赤緯度數(shù)，是一個解球面直角三角形的問題，傳統(tǒng)歷法都是用內插法進行計算。元代王恂、郭守敬等則用傳統(tǒng)的勾股形解法、沈括用會圓術和天元術解決了這個問題。不過他們得到的是一個近似公式，結果不夠精確。但他們的整個推算步驟是正確無誤的，從數(shù)學意義上講，這個方法開辟了通往球面三角法的途徑。中國古代計算技術改革的高潮也是出現(xiàn)在宋元時期。宋元明的歷史文獻中載有大量這個時期的實用算術書目，其數(shù)量遠比唐代為多，改革的主要內容仍是乘除法。與算法改革的同時，穿珠算盤在北宋可能已出現(xiàn)。但如果把現(xiàn)代珠算看成是既有穿珠算盤，又有一套完善的算法和口訣，那么應該說它最后完成于元代。宋元數(shù)學的繁榮，是社會經濟發(fā)展和科學技術發(fā)展的必然結果，是傳統(tǒng)數(shù)學發(fā)展的必然結果。此外，數(shù)學家們的科學思想與數(shù)學思想也是十分重要的。宋元數(shù)學家都在不同程度上反對理學家的象數(shù)神秘主義。秦九韶雖曾主張數(shù)學與道學同出一源，但他后來認識到，“通神明”的數(shù)學是不存在的，只有“經世務類萬物”的數(shù)學莫若在《四元玉鑒》序文中提出的“用假象真，以虛問實”則代表了高度抽象思維的思想方法楊輝對縱橫圖結構進行研究，揭示出洛書的本質，有力地批判了象數(shù)神秘主義。所有這些，無疑是促進數(shù)學發(fā)展的重要因素。